Департамент образования Владимирской области

Управления образования Судогодского района

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Мошокская средняя общеобразовательная школа»

« Решение уравнений и неравенств с параметром »

Разработала: Гаврилова Г.В.

учитель математики

моу «Мошокская средняя

общеобразовательная школа»

2009 год

Решение уравнений и неравенств с параметрами

Пояснительная записка
Понятие параметра является математическим понятием, которое часто используется в школьном курсе математики и в смежных дисциплинах.

7 класс - при изучении линейной функции и линейного уравнения с одной переменной.

8 класс – при изучении квадратных уравнений.

Общеобразовательная программа школьного курса математики не предусматривает решение задач с параметрами, а на вступительных экзаменах в вузы и на ЕГЭ по математике задачи с параметрами присутствуют, решение которых вызывает большие затруднения учащихся.Задачи с параметрами обладают диагностической и прогностической ценностью, которые позволяют проверить знания основных разделов школьного курса математики, уровень логического мышления, первоначальные навыки исследовательской деятельности.

Основная задача курса – познакомить учащихся с общими подходами решения заданий с параметрами, подготовить учащихся таким образом, чтобы они смогли в атмосфере конкурсного экзамена успешно справиться с задачами, содержащие параметры.

Решить уравнение, определить количество решений, исследовать уравнение, найти положительные корни, доказать, что неравенство не имеет решений и т.д.- все это варианты параметрических примеров. Поэтому невозможно дать универсальных указаний по решению примеров, в данном курсе рассматриваются различные примеры с решениями. Материал курса представлен по схеме: справочные сведения, примеры с решениями, примеры для самостоятельной работы, примеры для определения успешности усвоения материала.

Решение заданий с параметрами способствуют формированию навыков исследовательской деятельности, интеллектуальному развитию.

Цели курса:

Систематизировать знания учащихся, полученные в 7 и 8 классах, при решении линейных и квадратных уравнений и неравенств;

Выявить и развить их математические способности;

Создать целостное представление о решении линейных уравнений и неравенств, содержащих параметры;

Создать целостное представление о решении квадратных уравнений и неравенств, содержащих параметры;

Углубить знания по математике, предусматривающие формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету;

• 
  обеспечить подготовку к профессиональной деятельности, требующей высокой математической культуры.

Учебно-тематический план

№ п/п	Тема	Кол-во часов	Виды деятельности
1.			Практикум
2.	Первоначальные сведения о задачах с параметром.		Семинар
3.	Решение линейных уравнений, содержащих параметры.
4.	Решение линейных неравенств, содержащих параметры.		Исследовательская работа; отработка навыков; самостоятельная работа.
5.	Квадратные уравнения. Теорема Виета.	3	Исследовательская работа; отработка навыков; самостоятельная работа.
6.	Успешность усвоения курса	1	Итоговая контрольная работа

Тема 1. Решение линейных уравнений и неравенств, квадратных уравнений и неравенств, решение задач на применение теоремы Виета.
Тема 2. Первоначальные сведения о задачах с параметром.

Понятие параметра. Что означает «решить задачу с параметром»? Основные типы задач с параметром. Основные способы решения задач с параметром.

Примеры решения линейных уравнений с параметром.
Тема 4. Решение линейных неравенств, содержащих параметры.

Примеры решения линейных неравенств с параметром.

Тема 5. Квадратные уравнения. Теорема Виета.

Примеры решения квадратных уравнений с параметром.

Дидактический материал к элективному курсу

«Решение уравнений и

неравенств с параметром»
Тема 1. Примеры для этой темы.
Тема 2. Примеры, где учащиеся уже встречались с параметрами:

Функция прямая пропорциональность: у = kx (х и у – переменные; k – параметр, k ≠ 0);

Функция обратной пропорциональности: у = k / х (х и у – переменные, k – параметр, k ≠ 0)

Линейная функция: у = kх + b (х и у – переменные; k и b – параметры);

Линейное уравнение: ах + b = 0 (х – переменная; а и b – параметры);

Квадратное уравнение ах 2 + bх + с = 0 (х – переменная; а, b и c – параметры,

Что такое параметр?

Если в уравнение или неравенство некоторые коэффициенты заменены не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а уравнение или неравенство параметрическим.

Параметры обычно обозначаются первыми буквами латинского алфавита: а, в, с, … или а 1 , а 2 , а 3 , … , а неизвестные последними буквами латинского алфавита х, у, z, … Эти обозначения не являются обязательными, но если в условии не указано, какие буквы являются параметрами, а какие – неизвестны-

ми, то используются такие обозначения.

Например, решить уравнение (4х – ах)а = 6х – 10 . Здесь х – неизвестное, а – параметр.

Что означает «решить задачу с параметром»?

Решить задачу с параметром – значит, для каждого значения параметра а найти значение х, удовлетворяющие этой задаче, т.е. это зависит от вопроса в задаче.

Решить уравнение или неравенство с параметрами означает:

Определить, при каких значениях параметров существует решения;

Для каждой допустимой системы значений параметров найти соответствующее множество решений.

Какие основные типы задач с параметром?
Тип 1. Уравнения, неравенства, которые необходимо решить либо для любого значения параметра, либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговорённому множеству. Этот тип задач является базовым при овладении темой «Задачи с параметрами».

Тип 2. Уравнения, неравенства, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра.

Тип 3. Уравнения, неравенства, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения и неравенства имеют заданное число решений (в частности, не имеют или имеют бесконечное множество решений). Задачи типа 3 в каком-то смысле обратные задачам типа 2.

Тип 4. Уравнения, неравенства, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

Например, найти значения параметра, при которых:

1) уравнение выполняется для любого значения переменной из заданного промежутка;

2) множество решений первого уравнения является подмножеством множества решения второго уравнения и т.д.

Основные способы решения задач с параметром.
Способ 1. (аналитический) Этот способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные способы нахождения ответа в задачах без параметра.

Способ 2. (графический) В зависимости от задачи рассматриваются графики в координатной плоскости (х;у), или в координатной плоскости (х;а).

Способ 3. (решение относительно параметра) При решении этим способом переменные х и а принимаются равноправными, и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признаётся более простым. После естественных упрощений возвращаемся к исходному смыслу переменных х и а и заканчиваем решение.

Замечание. Существенным этапом решения задач с параметрами является запись ответа. Особенно это относится к тем примерам, где решение как бы «ветвится» в зависимости от значений параметра. В подобных случаях составление ответа – это сбор раннее полученных результатов. И здесь очень важно не забыть отразить в ответе все этапы решения.

Рассмотрим примеры. 2.1. Сравнить -а и 5а.

Решение. Надо рассмотреть три случая: если а 5а;

если а = 0, то –а = 5а;

если а > 0, то –а

Ответ. При а 5а; при а = 0 , –а = 5а; при а > 0, -а

1. 
   Решить уравнение ах = 1.

Решение. Если а = 0, то уравнение не имеет решений.

Если а ≠ 0, то х = 1 / а.

Ответ. При а = 0 нет решений; при а ≠ 0, х = 1 / а.

1. 
   Сравнить с и – 7с.
2. 
   Решить уравнение сх = 10

Тема 3.

Линейные уравнения

Уравнения вида

где а, в – принадлежат множеству действительных чисел, а х – неизвестное, называется линейным уравнением относительно х.

Схема исследования линейного уравнения (1).

1.Если а ≠ 0, в – любое действительное число. Уравнение имеет единственное решение х = в/а.

2. Если а=0, в=0, то уравнение примет вид 0 ∙ х = 0, решением уравнения будет множество всех действительных чисел.

3. Если а=0, в ≠ 0, то уравнение 0 ∙ х = в не имеет решений.

Замечание. Если линейное уравнение не представлено в виде (1), то сначала нужно привести его к виду (1) и только после этого проводить исследование.
Примеры. 3.1 Решить уравнение (а -3)х = в+2а

Уравнение записано в виде (1).

Решение: Если а≠ 3, то уравнение имеет решение х = в+2а/ а-3 при любом в.

Значит единственное значение а, при котором могут отсутствовать решения уравнения, это а=3. В этом случае уравнение (а -3)х = в+2а принимает вид

0 ∙ х = в+6. (2)

Если в≠ - 6, то уравнение (2) не имеет решений.

Если в = - 6, то любое х является решением (2).

Следовательно, в = - 6 единственное значение параметра в, при котором уравнение (1) имеет решение при любом а (х=2 при а ≠3 и х принадлежит множеству действительных чисел при а=3).

Ответ: в = -6.

3.2. Решить уравнение 3(х-2а) = 4(1-х).

3.3. Решить уравнение 3/kx-12=1/3x-k

3.4. Решить уравнение (a 2 -1)x = a 2 – a -2

3.5. Решить уравнение х 2 + (2а +4)х +8а+1=0
Самостоятельная работа.

Вариант 1. Решить уравнения: а) вх + 2 = - 1;

б) (а – 1)х = а – 2;

в) (а 2 – 1)х – а 2 + 2а – 1 = 0.

Вариант 2. Решить уравнения: а) – 8 = вх + 1;

б) (а + 1)х = а – 1;

в) (9а 2 – 4)х – 9а 2 + 12а – 4 = 0.
Тема 4.

Линейные неравенства с параметром

Неравенства

ах > в, ах
где а, в – выражения, зависящие от параметров, а х – неизвестное, называются линейными неравенствами с параметрами.

Решить неравенство с параметрами – значит для всех значений параметров найти множество решений неравенства.

Схема решения неравенства а х > в.

1. 
   Если а > 0, то х > в/а.
2. 
   Если а
3. 
   Если а = 0, то неравенство примет вид 0 ∙ х > в. При в ≥ 0 неравенство не имеет решений; при в

Схемы для решения остальных неравенств учащиеся делают самостоятельно.
Примеры. 4.1. Решить неравенство а(3х-1)>3х – 2.

Решение: а(3х-1)>3х – 2, значит 3х(а-1)> а-2.

Рассмотрим три случая.

1. 
   а=1, решением 0 ∙ х > -1 является любое действительное число.
2. 
   а>1, 3х(а-1)> а-2, значит х > а-2/3 (а-1).
3. 
   а а-2, значит х

Ответ: х > а-2/3 (а-1) при а>1; х Решить неравенства. 4.2. (а – 1)х > а 2 – 1.

1. 
   2ах +5 > a+10x .
2. 
   (а + 1)х – 3а + 1 ≤ 0.
3. 
   Х 2 +ах +1 > 0 .

Самостоятельная работа.

Вариант 1. Решить неравенства: а) (а – 1)х ≤ а 2 – 1;

б) 3х-а > ах – 2.

Вариант 2. Решить неравенства: а) (а – 1)х – 2а +3 ≥ 0;

б) ах-2в
Тема 5.

Квадратные уравнения, содержащие параметры. Теорема Виета.

Уравнение вида

ах 2 +вх + с = 0, (1)

где а,в,с – выражения, зависящие от параметров, а ≠ 0, х – неизвестное, называется квадратным уравнением с параметрами.
Схема исследования квадратного уравнения (1).

1. 
   Если а = 0, то имеем линейное уравнение вх +с = 0.
2. 
   Если а ≠ 0 и дискриминант уравнения D = в 2 – 4ас
3. 
   Если а ≠ 0 и D = 0, то уравнение имеет единственное решение х = - в/ 2а или как еще говорят, совпадающие корни х 1 = х 2 = - В / 2а.
4. 
   Если а ≠ 0 и D > 0, то уравнение имеет два различных корня х 1,2 = (- В ± √D) / 2а

Примеры. 5.1. Для всех значений параметра а решить уравнение

(а – 1)х 2 – 2ах + а + 2 = 0.

Решение. 1. а – 1 = 0, т.е. а = 1.Тогда уравнение примет вид -2х + 3 = 0, х = 3 / 2 .

2. а ≠ 1. Найдём дискриминант уравнения D = 4а 2 – 4(а – 1)(а + 2) = - 4а + 8.

Возможны случаи: а) D 8, а > 2. Уравнение не имеет

б) D = 0, т.е. -4а + 8 = 0, 4а = 8, а = 2. Уравнение имеет один

корень х = а / (а – 1) = 2 / (2 – 1) = 2.

в) D > 0, т.е. -4а + 8 > 0, 4а

корня х 1,2 = (2а ± √ -4а + 8) / 2(а – 1) = (а ± √ 2 – а) / (а – 1)

Ответ. При а = 1 х = 3 / 2 ;

при а =2 х = 2;

при а >2 нет корней;

Для всех значений параметра решить уравнения:

1. 
   ах 2 + 3ах – а – 2 = 0;
2. 
   ах 2 +6х – 6 = 0;
3. 
   вх 2 – (в + 1)х +1 = 0;
4. 
   (в + 1)х 2 – 2х + 1 – в = 0.

Самостоятельная работа.

Вариант 1. Решить уравнение ах 2 - (а+3)х + 3 = 0.

Вариант 2. Решить уравнение а 2 +(а+1)х + 2а-4 = 0.
Задачи.

1. 
   . Найдите все значения параметра а, для которых квадратное уравнение

(а -1)х 2 + 2(2а + 1)х + 4а + 3 = 0 имеет два различных корня; не имеет корней; имеет один корень.

Решение. Данное уравнение по условию является квадратным, значит,

а – 1 ≠ 0, т.е. а ≠ 1. Найдём дискриминант D = 4(2а + 1) 2 – 4(а – 1)(4а +3) =

4(4а 2 + 4а + 1 – 4а 2 + а + 3) = 4(5а + 4).

Имеем: 1) При а ≠ 1 и D > 0, т.е. 4(5а + 4) > 0, а > - 4 / 5 уравнение имеет два

различных корня.

2) При а ≠ 1 и D

3) При а ≠ 1 и D = 0, т.е. а = - 4 / 5 уравнение имеет один корень.

Ответ. Если а > - 4 / 5 и а ≠ 1, то уравнение имеет два различных корня;

если а = - 4 / 5 , то уравнение имеет один корень.

1. 
   .При каких значениях параметра а уравнение (а + 6)х 2 + 2ах +1 = 0 имеет единственное решение?
2. 
   .При каких значениях параметра а уравнение (а 2 – а – 2)х 2 + (а +1)х + 1 = 0 не имеет решений?
3. 
   .При каких значениях параметра а уравнение ах 2 - (2а+3)х+а+5=0 имеет два различных корня?

Самостоятельная работа.

Вариант 1. Найдите все значения параметра а , для которых квадратное уравнение (2а – 1)х 2 +2х – 1 = 0 имеет два различных корня; не имеет корней; имеет один корень.

Вариант 2. . Найдите все значения параметра а, для которых квадратное уравнение (1 – а )х 2 +4х – 3 = 0 имеет два различных корня; не имеет корней; имеет один корень.
Теорема Виета.

При решении многих задач, связанных с квадратными уравнениями, содержащими параметры, используются следующие теоремы.

Теорема Виета. Если х 1 , х 2 – корни квадратного уравнения ах 2 + вх +с = 0, а≠0, то х 1 + х 2 = - В /а и х 1 ∙ х 2 = С /а.
Теорема 1. Для того, чтобы корни квадратного трёхчлена ах 2 +вх +с были действительны и имели одинаковые знаки, необходимо и достаточно выполнение следующих условий: D = в 2 – 4ас ≥ 0, х 1 ∙ х 2 = С / А > 0.

При этом оба корня будут положительны, если х 1 + х 2 = - В /а > 0, и оба корня будут отрицательны, если х 1 + х 2 = - В /а
Теорема 2. Для того, чтобы корни квадратного трёхчлена ах 2 + вх + с были действительны и оба неотрицательны или оба неположительные, необходимо и достаточно выполнение следующих условий: D = в 2 – 4ас ≥ 0, х 1 ∙ х 2 = С /а≥ 0.

При этом оба корня будут неотрицательны, если х 1 + х 2 = - В /а ≥ 0, и оба корня будут неположительные, если х 1 + х 2 = - В /а ≤ 0.

Теорема 3. Для того, чтобы корни квадратного трёхчлена ах 2 + вх + с были действительны и имели разные знаки, необходимо и достаточно выполнение следующих условия: х 1 ∙ х 2 = С /аПри этом условие D = в 2 – 4ас > 0 выполняется автоматически.
Примечание. Эти теоремы играют важную роль при решении задач, связанных с исследованием знаков корней уравнения ах 2 + вх + с = 0.

Полезные равенства: х 1 2 + х 2 2 = (х 1 + х 2) 2 – 2х 1 х 2 , (1)

х 1 3 + х 2 3 = (х 1 + х 2)(х 1 2 – х 1 х 2 + х 2 2) = (х 1 + х 2)((х 1 + х 2) 2 – 3х 1 х 2), (2)

(х 1 - х 2) 2 = (х 1 + х 2) 2 – 4х 1 х 2 , (3)

(5)

5.10.

(а – 1)х 2 – 2ах + а +1 = 0 имеет: а) два положительных корня; б) два отрицательных корня; в) корни разных знаков?

Решение. Уравнение квадратное, значит, а ≠ 1. По теореме Виета имеем

х 1 + х 2 = 2а /(а – 1) , х 1 х 2 = (а + 1) / (а – 1) .

Вычислим дискриминант D = 4а 2 – 4(а – 1)(а + 1) = 4.

а) Согласно теоремы 1 уравнение имеет положительные корни, если

D ≥ 0, х 1 х 2 > 0, х 1 + х 2 > 0, т.е. (а + 1) / (а – 1) > 0 , 2а / (а – 1) > 0.

Отсюда а є (-1; 0).

б) Согласно теоремы 1 уравнение имеет отрицательные корни, если

D ≥ 0, х 1 х 2 > 0, х 1 + х 2 0 , 2а / (а – 1)

Отсюда а є (0; 1).

в) Согласно теоремы 3 уравнение имеет корни разных знаков, если х 1 х 2

(а + 1) /(а – 1) Ответ. а) при а є (-1; 0) уравнение имеет положительные корни;

б) при а є (0; 1) уравнение имеет отрицательные корни;

в) при а є (-1; 1) уравнение имеет корни разных знаков.
5.11. При каких значениях параметра а квадратное уравнение

(а – 1)х 2 – 2(а +1)х + а +3 = 0 имеет: а) два положительных корня; б) два отрицательных корня; в) корни разных знаков?

5. 12. Не решая уравнения 3х 2 – (в + 1)х – 3в 2 +0, найдите х 1 -1 + х 2 -1 , где х 1 , х 2 – корни уравнения.

5.13. При каких значениях параметра а уравнение х 2 – 2(а + 1)х + а 2 = 0 имеет корни, сумма квадратов которых равна 4.

Контрольная работа.
Вариант 1. 1. Решить уравнение (а 2 +4а)х = 2а + 8.

2. Решить неравенство (в + 1)х ≥ (в 2 – 1).

3. При каких значениях параметра а уравнение

х 2 – (2а +1)х + а 2 + а – 6 = 0 имеет: а) два положительных корня; б) два отрицательных корня; в) корни разных знаков?

Вариант 2. 1. Решить уравнение (а 2 – 2а)х = 3а.

2. Решить неравенство (а + 2)х ≤ а 2 – 4.

3. При каких значениях параметра в уравнение

х 2 – (2в – 1)х + в 2 – т – 2 = 0 имеет: а) два положительных корня; б) два отрицательных корня; в) корни разных знаков?

Литература.

1. 
   В.В. Мочалов, В.В. Сильвестров. Уравнения и неравенства с параметрами. Ч.:Изд-во ЧГУ, 2004. – 175с.
2. 
   Ястребинский Г.А. Задачи с параметрами. М.: Просвещение, 1986, - 128 с.
3. 
   Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10 – 11 классов среднй школы. М.: Просвещение, 1991. – 351 с.
4. 
   Т. Пескова. Первое знакомство с параметрами в уравнениях. Учебно-методическая газета «Математика». №36, 1999.
5. 
   Т. Косякова. Решение линейных и квадратных неравенств, содержащих параметры. 9 кл. Учебно-методическая газета «Математика».№ 25 – 26, № 27 – 28. 2004.
6. 
   Т. Горшенина. Задачи с параметром. 8 кл. Учебно-методическая газета «Математика». №16. 2004.
7. 
   Ш. Цыганов. Квадратные трёхчлены и параметры. Учебно-методическая газета «Математика». №5. 1999.
8. 
   С. Неделяева. Особенности решения задач с параметром. Учебно-методическая газета «Математика». №34. 1999.

9. В.В. Локоть Задачи с параметрами. Линейные и квадратные уравнения, неравенства, системы. Учебно-методическое пособие.Москва 2005.

Человек, умеющий решать задачи с параметрами, в совершенстве знает теорию и умеет ее применять не механически, а с логикой. Он «понимает» функцию, «чувствует» ее, считает ее своим другом или хотя бы хорошим знакомым, а не просто знает о ее существовании.

Что же такое уравнение с параметром? Пусть дано уравнение f (x; a) = 0. Если ставится задача отыскать все такие пары (x; a), которые удовлетворяют данному уравнению, то оно рассматривается как уравнение с двумя равноправными переменными х и а. Но можно поставить и другую задачу, полагая переменные неравноправными. Дело в том, что если придать переменной а какое-либо фиксированное значение, то f (x; a) = 0 превращается в уравнение с одной переменной х, и решения этого уравнения, естественно, зависят от выбранного значения а.

Основная трудность, связанная с решением уравнений (и тем более неравенств) с параметром, состоит в следующем: -при одних значениях параметра уравнение не имеет решений; -при других – имеет бесконечно много решений; -при третьих – оно решается по одним формулам; - при четвертых – оно решается по другим формулам. - Если уравнение f (x; a) = 0 нужно решить относительно переменной Х, а под a понимается произвольное действи- тельное число, то уравнение называют уравнением с параметром a.

Решить уравнение с параметром f (x; a) = 0 – это решить семейство уравнений, получающихся из уравнения f (x; a) = 0 при любых действительных значениях параметра. Уравнение с параметром – это, по сути дела, краткая запись бесконечного семейства урав- нений. Каждое из уравнений семейства полу- чается из данного уравнения с параметром при конкретном значении параметра. Поэтому задачу решения уравнения с параметром можно сформулировать следующим образом:

Выписать каждое уравнение из бесконечного семейства уравнений невозможно, но тем не менее каждое уравнение из бесконечного семейства должно быть решено. Сделать это, например, можно, если по некоторому целесообразному признаку разбить множество всех значений параметра на подмножества, а затем заданное уравнение решить на каждом из этих подмножеств. Решение линейных уравнений

Чтобы разбить множество значений параметра на подмножества, полезно воспользоваться теми значениями параметра, при которых или при переходе через которые происходит качественное изменение уравнения. Такие значения параметра можно назвать контрольными или особыми. Искусство решения уравнения с параметрами как раз и состоит в том, чтобы уметь находить контрольные значения параметра.

Тип 1. Уравнения, неравенства, их системы, которые необходимо решить либо для любого значения параметра, либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству. Этот тип задач является базовым при овладении темой «Задачи с параметрами», поскольку вложенный труд предопределяет успех и при решении задач всех других основных типов.

Тип 2. Уравнения, неравенства, их системы, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра (параметров). При решении задач данного типа нет необходимости ни решать заданные уравнения, неравенства, их системы, ни приводить эти решения; такая лишняя в большинстве случаев работа является тактической ошибкой, приводящей к неоправданным затратам времени. Но иногда прямое решение является единственным разумным путем получения ответа при решении задачи типа 2.

Тип 3. Уравнения, неравенства, их системы, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения, неравенства, их системы имеют заданное число решений (в частности, не имеют или имеют бесконечное множество решений). Задачи типа 3 в каком-то смысле обратны задачам типа 2.

Тип 4. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения. Например, найти значения параметра, при которых: 1) уравнение выполняется для любого значения переменной из заданного промежутка; 2) множество решений первого уравнения является подмножеством множества решений второго уравнения и т. д.

Основные способы (методы) решения задач с параметром. Способ I (аналитический). Аналитический способ решения задач с параметром есть самый трудный способ, требующий высокой грамотности и наибольших усилий по овладению им. Способ II (графический). В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a) рассматриваются графики или в координатной плоскости Оху, или в координатной плоскости Оха. Способ III (решение относительно параметра). При решении этим способом переменные x и a принимаются равноправными и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признается более простым. После естественных упрощений возвращаемся к исходному смыслу переменных x и a и заканчиваем решение.

Пример 1. Найти значения параметра а, при которых уравнение а(2а + 3)х + а 2 = а 2 х + 3а имеет единственный отрицательный корень. Решение. Данное уравнение равносильно следующему:. Если а(а + 3) 0, то есть а 0, а –3, то уравнение имеет единственный корень х =. х

Пример 2. Решите уравнение. Решение. Так как знаменатель дроби не может равняться нулю, имеем (b – 1)(x + 3) 0, то есть b 1, x –3. Умножив обе части уравнения на (b – 1)(x + 3) 0, получаем уравнение: Это уравнение является линейным относительно переменной х. При 4b – 9 = 0, то есть b = 2,25 уравнение принимает вид: При 4b – 9 0, то есть b 2,25 корень уравнения x =. Теперь надо проверить, нет ли таких значений b, при которых найденное значение х равно –3. Таким образом, при b 1, b 2,25, b –0,4 уравнение имеет единственный корень x =. О т в е т: при b 1, b 2,25, b –0,4 корень x = при b = 2,25, b = –0,4 решений нет; при b = 1 уравнение не имеет смысла.

Типы задач 2 и 3 отличает то, что при их решении не требуется получить явное решение, а нужно лишь найти те значения параметра, при которых это решение удовлетворяет тем или иным условиям. Примерами таких условий для решения могут служить следующие: существует решение; не существует решения; существует единственное решение; существует положительное решение; существует ровно k решений; существует решение, принадлежащее указанному промежутку. В этих случаях оказывается очень полезен графический способ решения задач с параметрами.

Можно выделить две разновидности применения графического метода при решении уравнения f (х) = f (а): На плоскости Оху рассматриваются график у = f (х) и семейство графиков у = f (а). Сюда же относятся задачи, решаемые с помощью «пучка прямых». Этот способ оказывается удобен в задачах с двумя неизвестными и одним параметром. На плоскости Оха (которую называют также фазовой) рассматриваются графики, в которых х – аргумент, а а – значение функции. Этот способ обычно применяется в задачах, в которых фигурируют лишь одна неизвестная и один параметр (или сводящиеся к таким).

Пример 1. При каких значениях параметра а уравнение 3х 4 + 4х 3 – 12х 2 = а имеет не менее трех корней? Решение. Построим графики функций f (х) = 3х 4 + 4х 3 – 12х 2 и f (х) = а в одной системе координат. Имеем: f "(х) = 12х х 2 – 24х = 12х(х + 2)(х – 1), f "(х) = 0 при х = –2 (точка минимума), при х = 0 (точка максимума) и при х = 1 (точка максимума). Найдем значения функции в точках экстремума: f (–2) = –32, f (0) = 0, f (1) = –5. Строим схематически график функции с учетом точек экстремума. Графическая модель позволяет ответить на поставленный вопрос: уравнение 3х 4 + 4х 3 – 12х 2 = а имеет не менее трех корней, если –5

Пример 2. Сколько корней при различных значениях параметра а имеет уравнение? Решение. Ответ на поставленный вопрос связан с числом точек пересечения графика полуокружности у = и прямой у = х + а. Прямая, являющаяся касательной, имеет формулу у = х +. Заданное уравнение не имеет корней при а; имеет один корень при –2

Пример3. Сколько решений имеет уравнение |х + 2| = ах + 1 в зависимости от параметра а? Решение. Можно построить графики у = |х + 2| и у = ах + 1. Но мы поступим иначе. При х = 0 (21) решений нет. Разделим уравнение на х: и рассмотрим два случая:1)х > –2 или х=2 2)2) х –2 или х=2 2)2) х

Пример использования «пучка прямых» на плоскости. Найдите значения параметра a, при которых уравнение |3x + 3| = ax + 5 имеет единственное решение. Решение. Уравнение |3x + 3| = ax + 5 равносильно следующей системе: Уравнение y – 5 = a(x – 0) задает на плоскости пучок прямых с центром A (0; 5). Проведем прямые из пучка прямых, которые будут параллельны сторонам уголка, являющегося графиком y = |3x + 3|. Эти прямые l и l 1 пересекают в одной точке график y = |3x + 3|. Уравнения этих прямых y = 3x + 5 и у = –3х + 5. Кроме того, всякая прямая из пучка, расположенная между этими прямыми, также будет пересекать график y = |3x + 3| в одной точке. Значит, искомые значения параметра [–3; 3].

Алгоритм решения уравнений с использованием фазовой плоскости: 1. Находим область определения уравнения. 2. Выражаем параметр а как функцию от х. 3. В системе координат хОа строим график функции а = f(х) для тех значений х, которые входят в область определения данного уравнения. 4. Находим точки пересечения прямой а = с, где с є (-; +) с графиком функции а = f(х). Если прямая а = с пересекает график а = f(х), то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение а = f(х) относительно х. 5.Записываем ответ.

Пример решения неравенства с помощью «фазовой плоскости». Решите неравенство х. Решение.По равносильному переходу Теперь на плоскости Оха построим графики функций Точки пересечения параболы и прямой х 2 – 2х = –2х х = 0. Условие а –2х автоматически выполняется при а х 2 – 2х Таким образом, в левой полуплоскости (х

Курсовая работа

Исполнитель: Бугров С К.

Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Некоторые Вузы также включают в экзаменационные билеты уравнения, неравенства и их системы, которые часто бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению. В школе же этот один из наиболее трудных разделов школьного курса математики рассматривается только на немногочисленных факультативных занятиях.

Готовя данную работу, я ставил цель более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу. На мой взгляд графический метод является удобным и быстрым способом решения уравнений и неравенств с параметрами.

В моём реферате рассмотрены часто встречающиеся типы уравнений, неравенств и их систем, и, я надеюсь, что знания, полученные мной в процессе работы, помогут мне при сдаче школьных экзаменов и при поступлении а ВУЗ.

Неравенство

¦(a, b, c, …, k, x)>j(a, b, c, …, k, x), (1)

где a, b, c, …, k – параметры, а x – действительная переменная величина, называется неравенством с одним неизвестным, содержащим параметры.

Любая система значений параметров а = а0, b = b0, c = c0, …, k = k0, при некоторой функции

¦(a, b, c, …, k, x) и

j(a, b, c, …, k, x

имеют смысл в области действительных чисел, называется системой допустимых значений параметров.

называется допустимым значением х, если

¦(a, b, c, …, k, x) и

j(a, b, c, …, k, x

принимают действительные значения при любой допустимой системе значений параметров.

Множество всех допустимых значений х называется областью определения неравенства (1).

Действительное число х0 называется частным решением неравенства (1), если неравенство

¦(a, b, c, …, k, x0)>j(a, b, c, …, k, x0)

верно при любой системе допустимых значений параметров.

Совокупность всех частных решений неравенства (1) называется общим решением этого неравенства.

Решить неравенство (1) – значит указать, при каких значениях параметров существует общее решение и каково оно.

Два неравенства

¦(a, b, c, …, k, x)>j(a, b, c, …, k, x) и (1)

z(a, b, c, …, k, x)>y(a, b, c, …, k, x) (2)

называются равносильными, если они имеют одинаковые общие решения при одном и том же множестве систем допустимых значений параметров.

Находим область определения данного неравенства.

Сводим неравенство к уравнению.

Выражаем а как функцию от х.

В системе координат хОа строим графики функций а =¦ (х) для тех значений х, которые входят в область определения данного неравенства.

Находим множества точек, удовлетворяющих данному неравенству.

Исследуем влияние параметра на результат.

найдём абсциссы точек пересечения графиков.

зададим прямую а=соnst и будем сдвигать её от -¥ до+¥

Записываем ответ.

Это всего лишь один из алгоритмов решения неравенств с параметрами, с использованием системы координат хОа. Возможны и другие методы решения, с использованием стандартной системы координат хОy.

§3. Примеры

I. Для всех допустимых значений параметра а решить неравенство

В области определения параметра а, определённого системой неравенств

данное неравенство равносильно системе неравенств

Если , то решения исходного неравенства заполняют отрезок .

II. При каких значениях параметра а имеет решение система

Найдем корни трехчлена левой части неравенства –

(*)

Прямые, заданные равенствами (*), разбивают координатную плоскость аОх на четыре области, в каждой из которых квадратный трехчлен

сохраняет постоянный знак. Уравнение (2) задает окружность радиуса 2 с центром в начале координат. Тогда решением исходной системы будет пересечение заштрихован

ной области с окружностью, где , а значения и находятся из системы

а значения и находятся из системы

Решая эти системы, получаем, что

III. Решить неравенство на в зависимости от значений параметра а.

Находим область допустимых значений –

Построим график функции в системе координат хОу.

при неравенство решений не имеет.

при для решение х удовлетворяет соотношению , где

Ответ: Решения неравенства существуют при

Где , причем при решения ; при решения .

IV. Решить неравенство

Находим ОДЗ или линии разрыва (асимптоты)

Найдем уравнения функций, графики которых нужно построить в ПСК; для чего перейдем к равенству:

Разложим числитель на множители.

т. к. то

Разделим обе части равенства на при . Но является решением: левая часть уравнения равна правой части и равна нулю при .

3. Строим в ПСК хОа графики функций

и нумеруем образовавшиеся области (оси роли не играют). Получилось девять областей.

4. Ищем, какая из областей подходит для данного неравенства, для чего берем точку из области и подставляем в неравенство.

Для наглядности составим таблицу.

		неравенство:

5. Найдем точки пересечения графиков

6. Зададим прямую а=сonst и будем сдвигать её от -¥ до +¥.

при

при решений нет

при

Список литературы

Далингер В. А. “Геометрия помогает алгебре”. Издательство “Школа - Пресс”. Москва 1996 г.

Далингер В. А. “Все для обеспечения успеха на выпускных и вступительных экзаменах по математике”. Издательство Омского педуниверситета. Омск 1995 г.

Окунев А. А. “Графическое решение уравнений с параметрами”. Издательство “Школа - Пресс”. Москва 1986 г.

Письменский Д. Т. “Математика для старшеклассников”. Издательство “Айрис”. Москва 1996 г.

Ястрибинецкий Г. А. “Уравнений и неравенства, содержащие параметры”. Издательство “Просвещение”. Москва 1972 г.

Г. Корн и Т.Корн “Справочник по математике”. Издательство “Наука” физико–математическая литература. Москва 1977 г.

Амелькин В. В. и Рабцевич В. Л. “Задачи с параметрами” . Издательство “Асар”. Москва 1996 г.

Параметр \(a\) – это число, которое может принимать любые значения из \(\mathbb{R}\) .

Исследовать уравнение/неравенство при всех значениях параметра – это значит указать, при каких значениях параметра какое именно решение имеет данное уравнение/неравенство.

Примеры:

1) уравнение \(ax=2\) при всех \(a\ne 0\) имеет единственное решение \(x=\dfrac 2a\) , а при \(a=0\) не имеет решений (т.к. тогда уравнение принимает вид \(0=2\) ).

2) уравнение \(ax=0\) при всех \(a\ne 0\) имеет единственное решение \(x=0\) , а при \(a=0\) имеет бесконечно много решений, т.е. \(x\in \mathbb{R}\) (т.к. тогда уравнение принимает вид \(0=0\) ).

Заметим, что

I) обе части уравнения нельзя делить на выражение, содержащее параметр (\(f(a)\) ), если это выражение может быть равно нулю. Но можно рассмотреть два случая:
первый, когда \(f(a)\ne0\) , и в этом случае можно разделить обе части равенства на \(f(a)\) ;
второй случай, когда \(f(a)=0\) , и этом случае мы можем по отдельности проверить каждое значение \(a\) (см. пример 1, 2).

II) обе части неравенства нельзя делить на выражение, содержащее параметр, если неизвестен знак этого выражения. Но можно рассмотреть три случая:
первый, когда \(f(a)>0\) , и в этом случае можно делить обе части неравенства на \(f(a)\) ;
второй, когда \(f(a)<0\) , и в этом случае при делении обеих частей неравенства на \(f(a)\) мы обязаны поменять знак неравенства на противоположный;
третий, когда \(f(a)=0\) , и в этом случае мы можем по отдельности проверить каждое значение \(a\) .

Пример:

3) неравенство \(ax>3\) при \(a>0\) имеет решение \(x>\dfrac3a\) , при \(a<0\) имеет решение \(x<\dfrac3a\) , а при \(a=0\) не имеет решений, т.к. принимает вид \(0>3\) .

Задание 1 #1220

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите уравнение \(ax+3=0\)

Уравнение можно переписать в виде \(ax=-3\) . Рассмотрим два случая:

1) \(a=0\) . В этом случае левая часть равна \(0\) , а правая – нет, следовательно, уравнение не имеет корней.

2) \(a\ne 0\) . Тогда \(x=-\dfrac{3}{a}\) .

Ответ:

\(a=0 \Rightarrow x\in \varnothing; \\ a\ne 0 \Rightarrow x=-\dfrac{3}{a}\) .

Задание 2 #1221

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите уравнение \(ax+a^2=0\) при всех значениях параметра \(a\) .

Уравнение можно переписать в виде \(ax=-a^2\) . Рассмотрим два случая:

1) \(a=0\) . В этом случае левая и правая части равны \(0\) , следовательно, уравнение верно при любых значениях переменной \(x\) .

2) \(a\ne 0\) . Тогда \(x=-a\) .

Ответ:

\(a=0 \Rightarrow x\in \mathbb{R}; \\ a\ne 0 \Rightarrow x=-a\) .

Задание 3 #1222

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство \(2ax+5\cos\dfrac{\pi}{3}\geqslant 0\) при всех значениях параметра \(a\) .

Неравенство можно переписать в виде \(ax\geqslant -\dfrac{5}{4}\) . Рассмотрим три случая:

1) \(a=0\) . Тогда неравенство принимает вид \(0\geqslant -\dfrac{5}{4}\) , что верно при любых значениях переменной \(x\) .

2) \(a>0\) . Тогда при делении на \(a\) обеих частей неравенства знак неравенства не изменится, следовательно, \(x\geqslant -\dfrac{5}{4a}\) .

3) \(a<0\) . Тогда при делении на \(a\) обеих частей неравенства знак неравенства изменится, следовательно, \(x\leqslant -\dfrac{5}{4a}\) .

Ответ:

\(a=0 \Rightarrow x\in \mathbb{R}; \\ a>0 \Rightarrow x\geqslant -\dfrac{5}{4a}; \\ a<0 \Rightarrow x\leqslant -\dfrac{5}{4a}\) .

Задание 4 #1223

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство \(a(x^2-6) \geqslant (2-3a^2)x\) при всех значениях параметра \(a\) .

Преобразуем неравенство к виду: \(ax^2+(3a^2-2)x-6a \geqslant 0\) . Рассмотрим два случая:

1) \(a=0\) . В этом случае неравенство становится линейным и принимает вид: \(-2x \geqslant 0 \Rightarrow x\leqslant 0\) .

2) \(a\ne 0\) . Тогда неравенство является квадратичным. Найдем дискриминант:

\(D=9a^4-12a^2+4+24a^2=(3a^2+2)^2\) .

Т.к. \(a^2 \geqslant 0 \Rightarrow D>0\) при любых значениях параметра.

Следовательно, уравнение \(ax^2+(3a^2-2)x-6a = 0\) всегда имеет два корня \(x_1=-3a, x_2=\dfrac{2}{a}\) . Таким образом, неравенство примет вид:

\[(ax-2)(x+3a) \geqslant 0\]

Если \(a>0\) , то \(x_1\(x\in (-\infty; -3a]\cup \big[\dfrac{2}{a}; +\infty)\) .

Если \(a<0\) , то \(x_1>x_2\) и ветви параболы \(y=(ax-2)(x+3a)\) направлены вниз, значит, решением являются \(x\in \big[\dfrac{2}{a}; -3a]\) .

Ответ:

\(a=0 \Rightarrow x\leqslant 0; \\ a>0 \Rightarrow x\in (-\infty; -3a]\cup \big[\dfrac{2}{a}; +\infty); \\ a<0 \Rightarrow x\in \big[\dfrac{2}{a}; -3a\big]\) .

Задание 5 #1851

Уровень задания: Легче ЕГЭ

При каких \(a\) множество решений неравенства \((a^2-3a+2)x -a+2\geqslant 0\) содержит полуинтервал \(\) .

Ответ:

\(a\in (-\infty;\dfrac{4}{3}\big]\cup

Рассмотрим два случая:

1) \(a+1=0 \Rightarrow a=-1\) . В этом случае уравнение \((*)\) равносильно \(3=0\) , то есть не имеет решений.

Тогда вся система равносильна \(\begin{cases} x\geqslant 2\\ x=2 \end{cases} \Leftrightarrow x=2\)

2) \(a+1\ne 0 \Rightarrow a\ne -1\) . В этом случае система равносильна: \[\begin{cases} x\geqslant -2a\\ \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x_1=-2a \\ &x_2=\dfrac3{a+1} \end{aligned} \end{gathered} \right. \end{cases}\]

Данная система будет иметь одно решение, если \(x_2\leqslant -2a\) , и два решения, если \(x_2>-2a\) :

2.1) \(\dfrac3{a+1}\leqslant -2a \Rightarrow a<-1 \Rightarrow \) имеем один корень \(x=-2a\) .

2.2) \(\dfrac3{a+1}>-2a \Rightarrow a>-1 \Rightarrow \) имеем два корня \(x_1=-2a, x_2=\dfrac3{a+1}\) .

Ответ:

\(a\in(-\infty;-1) \Rightarrow x=-2a\\ a=-1 \Rightarrow x=2\\ a\in(-1;+\infty) \Rightarrow x\in\{-2a;\frac3{a+1}\}\)

Как показывает статистика, нахождение решения задач с параметром многие выпускники считают наиболее трудным при подготовке в ЕГЭ 2019 по математике. С чем это связано? Дело в том, что зачастую задачи с параметром требуют применения исследовательских методов решения, т. е. при вычислении правильного ответа понадобится не просто применять формулы, но и находить те параметрические значения, при которых выполнено определенное условие для корней. При этом сами корни порой искать вовсе не требуется.

Тем не менее справляться с решением заданий с параметрами должны все учащиеся, которые готовятся к сдаче ЕГЭ. Подобные задачи встречаются в аттестационном испытании регулярно. Образовательный портал «Школково» поможет вам восполнить пробелы в знаниях и научиться быстро находить решение заданий с параметром в ЕГЭ по математике. Наши специалисты подготовили и в доступной форме изложили весь базовый теоретический и практический материал по данной теме. С порталом «Школково» решение задач на подбор параметра будет даваться вам легко и не повлечет никаких затруднений.

Основные моменты

Важно понять, что единого алгоритма решения задач на подбор параметра попросту не существует. Способы нахождения правильного ответа могут быть различными. Решить математическую задачу с параметром в ЕГЭ - значит, найти, чему равна переменная при определенном значении параметра. Если исходное уравнение и неравенство можно упростить, это необходимо сделать в первую очередь. В некоторых задачах для этого можно использовать стандартные методы решения, как в случае, если бы параметр представлял собой обычное число.

Вы уже успели ознакомиться с теоретическим материалом по данной теме? Для окончательного усвоения информации при подготовке к ЕГЭ по математике рекомендуем попрактиковаться в выполнении заданий с параметром; для каждого упражнения мы представили полный разбор решения и правильный ответ. В соответствующем разделе вы найдете как простые, так и более сложные задачи. Попрактиковаться в решении упражнений с параметрами, построенных по примеру заданий в ЕГЭ, учащиеся могут в режиме онлайн, находясь в Москве или любом другом городе России.

Муниципальное автономное общеобразовательное учереждение «Лицей №1» г. Новтроицка

Исследовательская работа

Методы решения уравнений и неравенств с параметром

Математическое моделирование

Выполнил:

ученик 11 А класса МОАУ

«Лицей №1»

Руководитель:

учитель высшей

Новотроицк

Введение. 3

Параметр. 5

Методы решения тригонометрических уравнений с параметром. 9

Методы решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств с параметром. 17

Методы решения систем уравнений и неравенств. 22

Заключение. 31

Список используемой литературы.. 32

Введение

Уравнения с параметром вызывают большие затруднения у учащихся 9-11 классов. Это связано с тем, что решение таких уравнений требует не только знания свойств функций и уравнений, умения выполнять алгебраические преобразования, но также высокой логической культуры и техники исследования.

Трудности при изучении данного вида уравнений связаны со следующими их особенностями:

· обилие формул и методов, используемых при решении уравнений данного вида;

· возможность решения одного и того же уравнения, содержащего параметр, различными способами.

Актуальность темы обуславливается недостаточным содержанием задач по данной теме в учебнике «Алгебра 11 класс ».

Важность данной темы определяется необходимостью уметь решать такие уравнения с параметрами как и при сдачи Единого Государственного экзамена, так и при вступительных экзаменах в высшие учебные заведения.

Объект исследования : задачи с параметрами.

Цель данной работы :

Выявить, обосновать и наглядно показать способы решения всех типов уравнений с параметрами;

Решить уравнения с параметрами;

Углубить теоретические знания по решению уравнений с параметрами;

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Дать определения понятиям уравнение с параметрами;

2. Показать способы решения уравнений с параметрами.

Достоинство моей работы заключается в следующем: указываются алгоритмы решения уравнений с параметрами; задачи часто встречаются на различных экзаменах и олимпиадах. Работа поможет ученикам сдать Единый Государственный Экзамен.

Мои действия:

1. Подобрать и изучить литературу;

2. Решить подобранные задачи;

Параметр

Имеется несколько определений параметра:

- Параметр – это величина, входящая в формулы и выражения, значение которой является постоянным в пределах рассматриваемой задачи, но в другой задаче меняет свои значения (, - «Толковый словарь математических терминов»).

- Переменныеa , b , c , …, k , которые при решении уравнения или неравенства считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение (неравенство) называется уравнением (неравенством), содержащим параметры (– «Репетитор по математике», Ростов-на-Дону «Феникс» 1997).

Решение большинства уравнений, содержащих параметр, сводится к квадратным уравнениям с параметром . Следовательно, чтобы научиться решать показательные, логарифмические, тригонометрические уравнения и системы уравнений с параметром, нужно сначала приобрести навыки решения квадратных уравнений с параметром .

Уравнение вида ax 2 + bx + c =0 , где х – неизвестная, a, b, c – выражения, зависящие только от параметров, а¹0, называется квадратным уравнением относительно х. Допустимыми будем считать только те значения параметров, при которых a, b, c действительны.

Контрольные значения параметра

Для решения квадратных уравнений с параметром необходимо находить контрольные значения параметра.

Контрольные значения параметра – те значения, при которых обращается в 0:

Старший коэффициент в уравнении или в неравенстве;

Знаменатели в дроби;

Дискриминант квадратного двучлена.

Общая схема решения уравнений, приводимых к квадратным уравнениям с параметром.

Общая схема решения уравнений, приводимых к квадратным уравнениям с параметром:

1. Указать и исключить все значения параметра и переменной, при которых уравнение теряет смысл.

2. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель, не равный нулю.

3. Преобразовать уравнение-следствие к виду https://pandia.ru/text/80/147/images/image002_13.png" width="128" height="24 src="> - действительные числа или функции от параметра.

4. Решить полученное уравнение, рассмотрев случаи:

а) ; б) https://pandia.ru/text/80/147/images/image005_6.png" width="19" height="27">.png" width="21" height="27">.png" height="75">х=2b+1

Так как х должен лежать на промежутке от 1 до 6, то:
1) 1<2b+1<6

2) 1<2b – 1<6

https://pandia.ru/text/80/147/images/image009_4.png" width="47" height="41 src=">=2b+1

1) 1<2b+1<6

2) 1<2b – 1<6

https://pandia.ru/text/80/147/images/image010_2.png" width="18 height=98" height="98">

у(1)>0 у=1-4b+4b2– 1>0

у(6)> 0 у=36-24b+4b2– 1>0

хвÎ(1; 6) 1<-<6

bÎ(-∞; 0) È (1; +∞).

2) 4b2-24b+35>0

D=576 – 560=16=42>0

b1=https://pandia.ru/text/80/147/images/image016_2.png" width="47" height="41 src=">=2,5 bÎ(0,5; 3)

bÎ(-∞;2,5)È(3,5;+∞)
bÎ(1; 2,5)

Ответ: корни уравнения х2-4bх+4b2–1=0 лежат на промежутке от